Số xấu thế nhỉ?

\(u_n=v_n+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}\)

\(\Rightarrow v_{n+1}+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}=-\dfrac{1}{3+v_n+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}v_n}{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}+v_n}\end{matrix}\right.\)

\(v_n=\dfrac{1}{y_n}\Rightarrow\dfrac{1}{y_{n+1}}=\dfrac{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}.\dfrac{1}{y_n}}{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{1}{y_n}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{y_{n+1}}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2y_n\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{1}{y_n}\right)}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{\left(3+\sqrt{5}\right)y_n+2}\)

\(\Leftrightarrow y_{n+1}=\dfrac{\left(3+\sqrt{5}\right)y_n}{3-\sqrt{5}}+\dfrac{2}{3-\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1=\dfrac{1}{v_1}=\dfrac{2}{5-\sqrt{5}}\\y_{n+1}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}y_n+\dfrac{2}{3-\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)

\(z_n=y_n+\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z_1=y_1+\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\\z_{n+1}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}z_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow z_n:csn-co:\left\{{}\begin{matrix}z_1=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\\q=\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow z_{n+1}=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}.\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n\)

\(\Rightarrow y_{n+1}=z_{n+1}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)

\(v_{n+1}=\dfrac{1}{y_{n+1}}=\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}\)

\(u_{n+1}=v_{n+1}+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}=\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}\)

Xét: 

\(u_{n+2}-u_{n+1}=\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}.\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n.\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}+\dfrac{\sqrt{5}-2}{2}-\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}-\dfrac{\sqrt{5}-2}{2}\)

\(=\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n.\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}-\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}\)

\(=\dfrac{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n.\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)}{.....}\)

\(=\dfrac{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n\left(1-\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)}{....}=\dfrac{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n.\left(-\dfrac{5+3\sqrt{5}}{2}\right)}{...}< 0\)

\(\Rightarrow\) dãy giảm

\(\Rightarrow u_1>u_2>....>u_n\)

\(\Rightarrow\lim\limits u_n=1\)

Bn tham khảo đây nhé: https://diendantoanhoc.org/topic/140204-t%C3%A0i-li%E1%BB%87u-d%C3%A3y-s%E1%BB%91/

Ta sẽ chứng minh dãy bị chặn trên bởi 2

Thật vậy, với \(n=1;2\) thỏa mãn

Giả sử điều đó cũng đúng với \(n=k\) , tức \(u_k< 2\)

Ta cần chứng minh \(u_{k+1}< 2\)

Ta có: \(u_{k+1}=\sqrt{3u_k-2}< \sqrt{3.2-2}=2\) (đpcm)

Tương tự, ta cũng quy nạp được dễ dàng \(u_n>1\)

Mặt khác: \(u_n-u_{n-1}=\sqrt{3u_{n-1}-2}-u_{n-1}=\dfrac{3u_{n-1}-2-u_{n-1}^2}{\sqrt{3u_{n-1}-2}+u_{n-1}}\)

\(=\dfrac{\left(2-u_{n-1}\right)\left(u_{n-1}-1\right)}{\sqrt{3u_{n-1}-2}+u_{n-1}}>0\)

\(\Rightarrow u_n>u_{n-1}\Rightarrow\) dãy tăng

Dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.

Gọi giới hạn đó là k thì:

\(k=\sqrt{3k-2}\Leftrightarrow k=2\)

\(u_n-u_{n+1}=u_n+\left(1-u_{n+1}\right)-1\ge2\sqrt{u_n\left(1-u_{n+1}\right)}-1>0\)

\(\Rightarrow u_n>u_{n+1}\Rightarrow\) dãy giảm

Dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn.

Gọi giới hạn đó là k

\(\Rightarrow k\left(1-k\right)\ge\dfrac{1}{4}\Rightarrow\left(2k-1\right)^2\le0\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(\lim\left(u_n\right)=\dfrac{1}{2}\)

Phương trình đặc trưng\(x^2-18x+17=0\) có 2 nghiệm: \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=17\end{matrix}\right.\)

Do đó SHTQ của dãy có dạng: \(u_{n+1}=c_1.1^{n+1}+c_2.17^{n+1}\)

Lần lượt thay n=0; n=1 vô phương trình, ta được hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}c_1+17c_2=16\\c_1+289c_2=288\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c_1=-1\\c_2=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u_{n+1}=17^{n+1}-1\)

\(\Rightarrow u_n=17^n-1\)

\(\Rightarrow\dfrac{17^n-1}{2^{2020}}=1\)

Thôi, đến đây là chịu rồi :D Miss dạng chia có mũ rồi :((

Ta có: \(u_n>2020\) với mọi \(n\in N\text{*}\) \(\left(\text{*}\right)\)

Thật vậy, dễ thấy \(u_1=2021>2020\)

Giả sử \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k\left(k\ge1\right)\)

\(\Rightarrow u_k>2020\)\(\Rightarrow u_{k+1}=\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right]u_k+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}\)

\(>\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right].2020+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}=2020\)

\(\Rightarrow\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k+1\)

Do đó theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.

Lại có:

\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}-\dfrac{u_n}{\left(n+1\right)^2}< 0\) với mọi \(n\in N\text{*}\)

\(\Rightarrow\left(u_n\right)\) là dãy giảm

\(\left(u_n\right)\) là dãy giảm và bị chặn nên \(\left(u_n\right)\) là dãy hội tụ

Đặt \(limu_n=L\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2020\le L\le2021\\L=\left[1-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\right].L+\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow L=2020\left(tm\right)\)

Vậy \(limu_n=2020\)

Ta có: \(u_n>2020\) với mọi \(n\in N\text{*}\) \(\left(\text{*}\right)\)

Thật vậy, dễ thấy \(u_1=2021>2020\)

Giả sử \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k\left(k\ge1\right)\)

\(\Rightarrow u_k>2020\)\(\Rightarrow u_{k+1}=\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right]u_k+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}\)

\(>\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right].2020+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}=2020\)

\(\Rightarrow\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k+1\)

Do đó theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.

Lại có:

\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}-\dfrac{u_n}{\left(n+1\right)^2}< 0\) với mọi \(n\in N\text{*}\)

\(\Rightarrow\left(u_n\right)\) là dãy giảm

\(\left(u_n\right)\) là dãy giảm và bị chặn nên \(\left(u_n\right)\) là dãy hội tụ

Đặt \(limu_n=L\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2020\le L\le2021\\L=\left[1-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\right].L+\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow L=2020\left(tm\right)\)

Vậy \(limu_n=2020\)